数学+树状数组

发表于2021-10-25更新于2021-10-25阅读次数

Master of Sequence





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这是个向下取整求和问题。
不难想到，应该二分t，但复杂度是O(n*logn)的，有m次询问，总共是O(m * n * logn)。即使给了10s，但是由于hdu的评测机实在不行，
6e9居然10s也跑不完。。，所以得优化一下。这道题需要注意到ai范围只有1000，所以我们可以把相同的ai值一起来求和，优化复杂度。
对于相同的ai值求和，即向下取整求和，关键是处理这个模数问题。所以我们把式子的模数处理出来，[ t-bi/ai ]化为[ k1 * ai+t%ai - ( k2 * ai+bi%ai )/ai ]。
即k1-k2+[ (t%ai-bi%ai)/ai ]，记k1=t/ai,k2=bi/ai,c1=t%ai,c2=bi%ai,[ ( c1-c2 )/ai ]当且仅当c1 < c2时为-1，否则为0.故我们只需要每次统计 分母为ai时大于c1的c2个数即可.于是我们用f[ x ][ y ]表示当ai为x时，1 <=bi%ai+1<=y的bi个数。用树状数组来维护这个区间和即可。ai==x的个数就为f[ x ][ 1000 ]。
于是答案就为:

sum为ai==i从1~1000，bi/ai的和。

踩坑：因为树状数组左端点不能为0，不然update会死循环，但是bi%ai可以为0，所以我们统一将bi%ai+1.
踩坑：一开始没用num[ i ]统计ai为i时，ai的个数，用的时getsum(1000)超时了，改了之后是时间限制的一半，怪不得会超时。常数大了。

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//两个错误,bi/ai弄错了
//bi%ai在树状数组中不能存0
//getsum()多写了几个超时了... 醉了  
/*
* @Author: Marhoosh
* @Date:   2021-10-11 11:00:11
* @Last Modified by:   Marhoosh
* @Last Modified time: 2021-10-25 20:49:09
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Debug(x) cout<<#x<<':'<<x<<endl
#define INF 0x7fffffff
typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> P;
const ll maxn=1e5+11;

ll f[1111][1111],a[maxn],b[maxn],num[1111];
ll n,m,sum;

ll lowbit(ll x){return x & -x;}
void update(ll i,ll x,ll val){for(;x<=1000;f[i][x]+=val,x+=lowbit(x));}
//update,x为0时死循环

ll getsum(ll i,ll x){ll sum=0;for(;x>=1;sum+=f[i][x],x-=lowbit(x));return sum;}

ll check(ll mid,ll k){
    ll ans=0;
    for(ll i=1;i<=1000;i++){
        ans=ans+mid/i*num[i];
        ans=ans-num[i]+getsum(i,mid%i+1);
    }
    ans-=sum;
    if(ans>=k)  return 1;
    else  return 0;
}

void solve(ll k){
    ll l=0,r=1e9+11;
    while(l<r){
        ll mid=(l+r)/2;
        if(check(mid,k))  r=mid;
        else  l=mid+1;
    }
    printf("%lld\n",l);
}

int main(){
    ll ca;scanf("%lld",&ca);
    while(ca--){
        memset(f,0,sizeof(f));memset(num,0,sizeof(num));
        sum=0;
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        for(ll i=1;i<=n;i++)  scanf("%lld",&a[i]);
        for(ll i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&b[i]);
            sum+=b[i]/a[i];
            update(a[i],b[i]%a[i]+1,1);
            num[a[i]]++;
        }
        for(ll i=1;i<=m;i++){
            ll type;scanf("%lld",&type);
            if(type==1){
                ll x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);
                sum-=b[x]/a[x];
                sum+=b[x]/y;
                update(a[x],b[x]%a[x]+1,-1);
                num[a[x]]--;
                update(y,b[x]%y+1,1);
                num[y]++;
                a[x]=y;
            }
            else if(type==2){
                ll x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);
                sum-=b[x]/a[x];
                sum+=y/a[x];
                update(a[x],b[x]%a[x]+1,-1);
                num[a[x]]--;
                update(a[x],y%a[x]+1,1);
                num[a[x]]++;
                b[x]=y;
            }
            else{
                ll k;scanf("%lld",&k);
                solve(k);
            }
        }
    }
    return 0;
}